Aşağıda Türk üniversitelerinden derlenen olasılık ve istatistik sınav soruları konu başlıkları altında sıralanmıştır. Her sorunun altında kanıta dayalı çözüm yaklaşımı veya sonucu belirtilmiştir.
KOŞULLU OLASILIK VE BAYES TEOREMİ
Soru 1: Fabrikadan Gelen Parça Olasılığı (İstanbul Teknik Üniversitesi)
Bir parçanın birinci fabrikadan gelme olasılığı hesaplanacaktır.
Çözüm: Bayes kuralı uygulanarak koşullu olasılık bulunur. P(Fabrika1|Kusurlu) = P(Kusurlu|Fabrika1) × P(Fabrika1) / P(Kusurlu) formülü kullanılır. P(Kusurlu) değeri toplam olasılık yasası ile tüm fabrikalar için hesaplanır.
Soru 2: Bayes Teoremi Uygulaması (Finans ve İstatistik)
Bayes teoremi ile olasılık hesaplaması yapılacaktır.
Çözüm: Test sonuçları ve önsel olasılıklar birleştirilerek sonsal olasılık hesaplanır. Sonuç yaklaşık %9 olarak bulunmuştur.
---
BİNOM VE POİSSON DAĞILIMI
Soru 3: Poisson Dağılımı – Müşteri Hizmeti (Finans ve İstatistik)
Poisson dağılımı kullanılarak tam olarak 2 müşterinin hizmet alma olasılığı hesaplanacaktır.
Çözüm: P(X = 2) = (e^-λ × λ²) / 2! formülü uygulanır. Sonuç %22,41 olarak bulunmuştur.
Soru 4: Sağlık Ocağı Hasta Sayıları (Ondokuz Mayıs Üniversitesi – Prof. Dr. Yüksel Terzi)
Hafta içi bir sağlık ocağına gelen hasta sayıları kaydedilmiştir. Dağılımın Poisson dağılıma uygun olup olmadığı %5 anlamlılık düzeyinde test edilecektir.
Çözüm: Uyumluluk testi (chi-square goodness of fit) uygulanır. Gözlenen frekanslar ile Poisson dağımdan beklenen frekanslar karşılaştırılır. λ = ortalama hasta sayısı olarak tahmin edilir.
---
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI
Soru 5: Formula 1 Pit Stop Süreleri (Atatürk Üniversitesi – İstatistik Dersi Vize)
Formula 1 takımlarının pit stopta 4 tekerleği değiştirme süreleri X rassal değişkeni ile tanımlanmaktadır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiştir.
Çözüm: Sürekli rassal değişken için olasılık hesaplaması integral ile yapılır. P(a < X < b) = ∫f(x)dx şeklinde hesaplanır. Beklenen değer E(X) = ∫x·f(x)dx formülüyle bulunur.
Soru 6: Standart Normal Dağılım Soruları (Sinop Üniversitesi – Temel İstatistik Vize)
Standart normal dağılımda şu olasılıkları hesaplayınız: a) P(Z < -2,1) b) P(Z > -1,8) c) P(Z > 1,75) d) P(-2,21 < Z < 1,23)
Çözüm: Standart normal dağılım tablosu kullanılarak hesaplanır. Tam değerler standart normal dağılım tablosundan elde edilmelidir.
Soru 7: Baş Ağrısı ve Aspirin Kullanımı (Sinop Üniversitesi – Temel İstatistik Vize)
Kalabalık bir kentte yapılan araştırma sonucu, kentte yaşayanların %60'ının baş ağrısında aspirin kullandığı tespit edilmiştir. Bu kentten tesadüfi olarak seçilen 200 kişiden oluşan örneklemde en az 110 kişinin aspirin kullanma olasılığı nedir?
Çözüm: Büyük örneklemde binom dağılımı normale yaklaştırılır. n = 200, p = 0,60 parametreleri ile ortalama μ = np ve standart sapma σ = √(npq) hesaplanır. Z standardizasyonu yapılarak tablo değerinden olasılık bulunur.
---
DÖNÜŞÜM VE BEKLENEN DEĞER
Soru 8: Rassal Değişken Dönüşümü (Hacettepe Üniversitesi – Aktüerlik Sınavları)
X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiştir. Y = 1/X rassal değişkeninin dağılımını bulunuz.
Çözüm: Dağılım dönüşümü yöntemi uygulanır. Y'nin yoğunluk fonksiyonu: f_Y(y) = f_X(1/y) × |d(1/y)/dy| = f_X(1/y) × (1/y²) şeklinde hesaplanır.
---
KORELASYON VE REGRESYON
Soru 9: Korelasyon Katsayısı Hesaplama (Finans ve İstatistik)
İki değişkenli regresyon için korelasyon katsayısı hesaplanacaktır.
Çözüm: r = Cov(X,Y) / (S_X × S_Y) formülü kullanılır. Elde edilen sonuç mükemmel pozitif ilişkiyi göstermektedir.
---
KARAR ANALİZİ VE PORTFÖY TEORİSİ
Soru 10: Karar Ağacı ile Beklenen Getiri (Finans ve İstatistik)
Karar ağacı analizi ile beklenen getiri hesaplanacaktır.
Çözüm: Her karar dalı için beklenen değerler hesaplanır ve karşılaştırılır. Sonuç yatırımcının kararına göre %6 olarak bulunmuştur.
Soru 11: Portföy Riski Hesaplama (Finans ve İstatistik)
İki portföylü bir sistemin riski hesaplanacaktır.
Çözüm: Portföy varyansı: σ²_p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂ formülü ile hesaplanır. İki portföy riski %12,5 olarak bulunmuştur.
Soru 12: Monte Carlo Simülasyonu (Finans ve İstatistik)
Monte Carlo simülasyonu ile hisse senedi değerlemesi yapılacaktır.
Çözüm: Rastgele sayılar üretilerek çok sayıda senaryo simüle edilir. Ortalama son değer yaklaşık 102,1 olarak bulunmuştur.
---
Not: Finans ve İstatistik kaynağından (Scribd) alınan sorularda çözüm sonuçları belirtilmiş olup, detaylı hesaplama adımları orijinal dokümanda mevcuttur. Sinop Üniversitesi soruları için tam sayısal sonuçlar standart normal dağılım tablosundan elde edilmelidir.